SISTEMAS NUMÉRICO

SISTEMAS NUMÉRICO

Un sistema numérico es un conjunto de números que se relacionan para expresar la relación existente entre la cantidad y la unidad. Debido a que un numero es un símbolo, podemos encontrar diferentes representaciones para expresar una cantidad.

SISTEMA DECIMAL:
En el sistema de numeración decimal se utilizan diez símbolos, del 0 al 9 para presentar una determinada cantidad. Los diez símbolos no se limitan a expresar solamente diez cantidades diferentes, ya que se utilizan varios dígitos en las posiciones adecuadas dentro de un numero para indicar la magnitud de la cantidad.

Base: 10 
Símbolos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
La posición de cada dígito en un numero decimal indica la magnitud de la cantidad representada y se la puede asignar un peso. Los pesos para los números enteros son potencias de 10, que aumentan de derecha a izquierda, comenzando por 100  = 1.

SISTEMA BINARIO:
EL sistema de numeración binario utiliza solo dos dígitos, el cero y el uno.
En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno.
Base: 2
Símbolos 0,1
El numero binario 1011 tiene un valor que se calcula así: 

1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 , es decir:


8 + 0 + 2 + 1 = 11

SISTEMA OC TAL: 
El inconveniente de la codificación binaria es que  la representación de algunos números resulta muy larga, por este motivo se utilizan otros sistemas de numeración que resulten mas cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente resulta muy fácil convertir un numero binario a octal o a hexadecimal.
Base: 8
Símbolos: 0,1,2,3,4,5,6,7
Ejemplo, el numero octal 2738 

2*83 + 7*82 + 3*81 = 2*512 + 7*64 + 3*8 = 149610


2738 = 149610

SISTEMA HEXADECIMAL:
En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,y F. Se utilizan los caracteres A,B,C,D,E y F representando las cantidades decimales 10,11,12,13,14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, su posición, que se calcula mediante potencias de base 16
Ejemplo calcular el numero hexadecimal 1A3F16

1A3F16 = 1*163 + A*162 + 3*161 + F*160
1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719

1A3F16 = 671910

Vídeo:

https://www.youtube.com/watch?v=QrULhy0P_uU

Lógica proposicional

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Una lógica proposicional, o a veces lógica de orden cero, es un sistema formal cuyos elementos más simples representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas lógicas, representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor complejidad.¹​

Las lógicas proposicionales carecen de cuantificadores o variables de individuo, pero tienen variables proposicionales (es decir, que se pueden interpretar como proposiciones con un valor de verdad definido), de ahí el nombre proposicional. Los sistemas de lógica proposicional incluyen además conectivas lógicas, por lo que dentro de este tipo de lógica se puede analizar la inferencia lógica de proposiciones a partir de proposiciones, pero sin tener en cuenta la estructura interna de las proposiciones más simples.²​

Conectivas lógicas[editar]

Artículo principal: Conectiva lógica

Conectivas lógicas
Tautología ${\displaystyle \top }$ Conjunción opuesta ${\displaystyle \uparrow }$ Implicación opuesta ${\displaystyle \leftarrow }$ Condicional material ${\displaystyle \rightarrow }$ Disyunción lógica ${\displaystyle \lor }$ Negación lógica ${\displaystyle \lnot }$ Disyunción exclusiva ${\displaystyle \nleftrightarrow }$ Bicondicional ${\displaystyle \leftrightarrow }$ Afirmación lógica Disyunción opuesta ${\displaystyle \downarrow }$ Adjunción lógica ${\displaystyle \nrightarrow }$ Adjunción opuesta ${\displaystyle \nleftarrow }$ Conjunción lógica ${\displaystyle \land }$ Contradicción ${\displaystyle \bot }$
v d e

A continuación hay una tabla que despliega todas las conectivas lógicas que ocupan a la lógica proposicional, incluyendo ejemplos de su uso en el lenguaje natural y los símbolos que se utilizan para representarlas en lenguaje formal.

Conectiva	Expresión en el lenguaje natural	Ejemplo	Símbolo en este artículo	Símbolos alternativos
Negación	no	No está lloviendo.	${\displaystyle \neg \,}$	${\displaystyle \sim \,}$
Conjunción	y	Está lloviendo y está nublado.	${\displaystyle \land }$	&
Disyunción	o	Está lloviendo o está soleado.	${\displaystyle \lor }$	|
Condicional material	si... entonces	Si está soleado, entonces es de día.	${\displaystyle \to \,}$	${\displaystyle \supset }$
Bicondicional	si y sólo si	Está nublado si y sólo si hay nubes visibles.	${\displaystyle \leftrightarrow }$	${\displaystyle \equiv \,}$
Disyunción opuesta	ni... ni	Ni está soleado ni está nublado.	${\displaystyle \downarrow \,}$
Disyunción exclusiva	o bien... o bien	O bien está soleado, o bien está nublado.	${\displaystyle \nleftrightarrow }$	${\displaystyle \oplus ,\not \equiv ,W}$

Vídeo:

https://www.youtube.com/watch?v=lrnmYWx9NNM

Álgebra de Boole

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El álgebra de Boole, también llamada álgebra booleana, en electrónica digital, informática y matemática es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas.

Historia

Se denomina así en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés autodidacta, que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico, inicialmente en un pequeño folleto, The Mathematical Analysis of Logic,¹​ publicado en 1847, en respuesta a una controversia en curso entre Augustus De Morgan y sir William Rowan Hamilton. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. Más tarde fue extendido como un libro más importante: An Investigation of the Laws of Thought on Which are Fondead the Mathematical Theories of Logic and Probabilities (también conocido como An Investigation of the Laws of Thought ²​ o simplemente The Laws of Thought³​), publicado en 1854.

En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948. Esta lógica se puede aplicar a dos campos:

• Al análisis, porque es una forma concreta de describir cómo funcionan los circuitos.
• Al diseño, ya que teniendo una función se aplica dicha álgebra para poder desarrollar una implementación de la función.

Definición

Dado un conjunto ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ en el que se han definido dos leyes de composición interna ${\displaystyle \oplus ,\odot }$. La estructura ${\displaystyle ({\mathfrak {B}},\oplus ,\odot )}$es un álgebra de Boole si y solo si ${\displaystyle ({\mathfrak {B}},\oplus ,\odot )}$es un Retículo distributivo,⁵​ esto es:

• ${\displaystyle \odot }$ es distributiva respecto a ${\displaystyle \oplus }$:

${\displaystyle a\odot (b\oplus c)=(a\odot b)\oplus (a\odot c)}$

• ${\displaystyle \oplus }$ es distributiva respecto a ${\displaystyle \odot }$

${\displaystyle a\oplus (b\odot c)=(a\oplus b)\odot (a\oplus c)}$

Vídeo:
https://www.youtube.com/watch?v=9_rpiAScBvk

 Álgebra de Matrices

Una matriz m×n es una tabla o arreglo rectangular A de números reales con m reglones (o filas) y n columnas. (Reglones son horizontales y columnas son verticales.) Los números m y n son las dimensiones de A.

Ejemplo

Aquí es una matriz 4×5. Mueva el ratón sobre las entradas para ver sus nombres.

A =		0	1	2	0	3			A22 = -1
		1/3	-1	10	1/3	2
		3	1	0	1	-3
		2	1	0	0	1

Video:

https://www.youtube.com/watch?v=A3K5wr3ArGE

Algorítmica y Lenguajes de Programación
Estructuras de Control

Estructuras de Control. Introducción

en Hasta ahora algoritmos han consistido en simples secuencias de instrucciones en Existen tareas más complejas que no pueden ser resueltas así (repetir una misma acción, realizar acciones diferentes en función del valor de una expresión, etc.)  Para resolver esto existen las estructuras de control: Una estructura de control tiene un único punto de entrada y un único punto de salida.  Una estructura de control se compone de sentencias o de otras estructuras de control.  Existen 3 tipos fundamentales de estructuras de control: Secuencial.  Alternativa.  Repetitiva.

 La más sencilla, simplemente indica una secuencia de acciones a ser ejecutadas de forma consecutiva. n La composición secuencial no es conmutativa. read *, a read *, b c = a + b print *, c leer a leer b c a + b escribir c

Estructuras de Control.Alternativa múltiple (i)

n Evalúa una expresión que pueda tomar n valores (enteros, caracteres y lógicos pero nunca reales) y ejecuta una acción o grupo de acciones diferente en función del valor tomado por la expresión selectora.

Estructuras de Control. Estructura desde-hasta (i)

n Permite repetir la ejecución de una acción o de un grupo de acciones un número determinado de veces.

do indice=inicio, fin, paso acción end do

desde indice inicio hasta fin [con paso valor] hacer acción fin desde

n El funcionamiento de la estructura es el siguiente: En primer lugar, se asigna a la variable indice el valor de inicio. El bucle se ejecuta mientras indice no alcance el valor de fin. n En cada iteración el valor de indice es incrementado según el paso indicado y se ejecuta la acción o grupo de acciones encerrados en el bucle.En caso de que no se indique ningún paso el que se empleará será +1.
Pseudocódigos

En ciencias de la computación, y análisis numérico, el pseudocódigo (o lenguaje de descripción algorítmico) es una descripción de alto nivel compacta e informal​ del principio operativo de un programa informático u otro algoritmo.

Utiliza las convenciones estructurales de lenguaje de programación real,²​ pero está diseñado para la lectura humana en lugar de la lectura mediante máquina, y con independencia de cualquier otro lenguaje de programación. Normalmente, el pseudocódigo omite detalles que no son esenciales para la comprensión humana del algoritmo, tales como declaraciones de variables, código específico del sistema y algunas subrutinas. El lenguaje de programación se complementa, donde sea conveniente, con descripciones detalladas en lenguaje natura, o con notación matemática compacta. Se utiliza pseudocódigo pues este es más fácil de entender para las personas que el código del lenguaje de programación convencional, ya que es una descripción eficiente y con un entorno independiente de los principios fundamentales de un algoritmo. Se utiliza comúnmente en los libros de texto y publicaciones científicas que se documentan varios algoritmos, y también en la planificación del desarrollo de programas informáticos, para esbozar la estructura del programa antes de realizar la efectiva codificación.

Bucle mientras[editar]

Artículo principal: Bucle while

El bucle se repite mientras la condición sea cierta, si al llegar por primera vez al bucle mientras la condición es falsa, el cuerpo del bucle no se ejecuta alguna vez.

Diagrama de flujo que muestra el funcionamiento de la instrucción mientras

${\displaystyle {\color {Sepia}\mathrm {Mientras} }\;{\color {OliveGreen}\mathrm {condici{\acute {o}}n} }\;{\color {Sepia}\mathrm {Hacer} }}$ ${\displaystyle {\color {BlueViolet}\mathrm {instrucciones;} }}$ ${\displaystyle {\color {Sepia}\mathrm {Fin\;Mientras} }}$

Bucle repetir[editar]

Existen otras variantes que se derivan a partir de la anterior. La estructura de control repetir se utiliza cuando es necesario que el cuerpo del bucle se ejecuten al menos una vez y hasta que se cumpla la condición:

${\displaystyle {\color {Sepia}\mathrm {Repetir} }}$ ${\displaystyle {\color {BlueViolet}\mathrm {instrucciones;} }}$ ${\displaystyle {\color {Sepia}\mathrm {Hasta\;Que} }\;{\color {OliveGreen}\mathrm {condici{\acute {o}}n} }}$

La estructura anterior equivaldría a escribir:

${\displaystyle {\color {BlueViolet}\mathrm {instrucciones;} }}$ ${\displaystyle {\color {Sepia}\mathrm {Mientras} }\;{\color {BlueViolet}\mathrm {\neg } }({\color {OliveGreen}\mathrm {condici{\acute {o}}n} })\;{\color {Sepia}\mathrm {Hacer} }}$ ${\displaystyle {\color {BlueViolet}\mathrm {instrucciones;} }}$ ${\displaystyle {\color {Sepia}\mathrm {Fin\;Mientras} }}$

Bucle hacer[editar]

El Bucle hacer se utiliza para repetir un bloque de código mientras se cumpla cierta condición.

${\displaystyle {\color {Sepia}\mathrm {Hacer} }\;}$ ${\displaystyle {\color {BlueViolet}\mathrm {instrucciones;} }\;}$ ${\displaystyle {\color {Sepia}\mathrm {Mientras} }\;{\color {OliveGreen}\mathrm {condici{\acute {o}}n} }}$

Bucle para[editar]

Artículo principal: Bucle for

Una estructura de control muy común es el ciclo FOR, la cual se usa cuando se desea iterar un número conocido de veces, empleando como índice una variable que se incrementa (o decrementa):

${\displaystyle {\color {Sepia}\mathrm {Para} }\;{\color {OliveGreen}{\mathit {i}}}\;{\color {BlueViolet}{\mathit {\gets }}}\;{\color {OliveGreen}{\mathit {x}}}\;{\color {Sepia}\mathrm {Hasta} }\;{\color {OliveGreen}{\mathit {n}}}\;{\color {Sepia}\mathrm {Con\;Paso} }\;{\color {OliveGreen}{\mathit {z}}}\;{\color {Sepia}\mathrm {Hacer} }}$ ${\displaystyle {\color {BlueViolet}\mathrm {instrucciones;} }}$ ${\displaystyle {\color {Sepia}\mathrm {Fin\;Para} }}$